Selesaikan {l}{a^2+b^2=13}{a+b=4}

$$\left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 13 } \\ { a + b = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 3.58113883\text{, }b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 0.41886117$$

$$a=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 0.41886117\text{, }b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 3.58113883$$

Langkah Menggunakan Penggantian dan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a+b=4,b^{2}+a^{2}=13$$

Selesaikan a+b=4 untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a+b=4$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=-b+4$$

Gantikan -b+4 dengan a dalam persamaan lain, b^{2}+a^{2}=13.

$$b^{2}+\left(-b+4\right)^{2}=13$$

Kuasa dua -b+4.

$$b^{2}+b^{2}-8b+16=13$$

Tambahkan b^{2} pada b^{2}.

$$2b^{2}-8b+16=13$$

Tolak 13 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2b^{2}-8b+3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1+1\left(-1\right)^{2} dengan a, 1\times 4\left(-1\right)\times 2 dengan b dan 3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 1\times 4\left(-1\right)\times 2.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 3}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-24}}{2\times 2}$$

Tambahkan 64 pada -24.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{40}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 40.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{10}}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan 1\times 4\left(-1\right)\times 2 ialah 8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{10}}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 8 pada 2\sqrt{10}.

$$b=\frac{2\sqrt{10}+8}{4}$$

Bahagikan 8+2\sqrt{10} dengan 4.

$$b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

Sekarang selesaikan persamaan b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{10} daripada 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{10}}{4}$$

Bahagikan 8-2\sqrt{10} dengan 4.

$$b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

Terdapat dua penyelesaian untuk b: 2+\frac{\sqrt{10}}{2} dan 2-\frac{\sqrt{10}}{2}. Gantikan 2+\frac{\sqrt{10}}{2} dengan b dalam persamaan a=-b+4 untuk mencari penyelesaian sepadan bagi a yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$a=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4$$

Sekarang gantikan 2-\frac{\sqrt{10}}{2} dengan b dalam persamaan a=-b+4 tersebut dan selesaikan untuk mencari penyelesaian sepadan bagi a yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$a=-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4,b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\text{ or }a=-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4,b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$