Selesaikan {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2b pada kedua-dua belah.

$$a+2b=15$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2a pada kedua-dua belah.

$$2a-5b+2a=15$$

Gabungkan 2a dan 2a untuk mendapatkan 4a.

$$4a-5b=15$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a+2b=15$$

Tolak 2b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=-2b+15$$

Gantikan -2b+15 dengan a dalam persamaan lain, 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

Darabkan 4 kali -2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

Tambahkan -8b pada -5b.

$$-13b+60=15$$

Tolak 60 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-13b=-45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Gantikan \frac{45}{13} dengan b dalam a=-2b+15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

Darabkan -2 kali \frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Tambahkan 15 pada -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2b pada kedua-dua belah.

$$a+2b=15$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2a pada kedua-dua belah.

$$2a-5b+2a=15$$

Gabungkan 2a dan 2a untuk mendapatkan 4a.

$$4a-5b=15$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2b pada kedua-dua belah.

$$a+2b=15$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2a pada kedua-dua belah.

$$2a-5b+2a=15$$

Gabungkan 2a dan 2a untuk mendapatkan 4a.

$$4a-5b=15$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Untuk menjadikan a dan 4a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Permudahkan.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Tolak 4a-5b=15 daripada 4a+8b=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Tambahkan 4a pada -4a. Seubtan 4a dan -4a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8b+5b=60-15$$

Tambahkan 8b pada 5b.

$$13b=60-15$$

Tambahkan 60 pada -15.

$$13b=45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Gantikan \frac{45}{13} dengan b dalam 4a-5b=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

Darabkan -5 kali \frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Tambahkan \frac{225}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4a=\frac{420}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$a=\frac{105}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$