Selesaikan {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$Ax+By=C$$

Tolak By daripada kedua-dua belah persamaan.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan A.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

Darabkan \frac{1}{A} kali -By+C.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

Gantikan \frac{-By+C}{A} dengan x dalam persamaan lain, Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

Darabkan D kali \frac{-By+C}{A}.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Tambahkan -\frac{DBy}{A} pada Cy.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

Tolak \frac{DC}{A} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan C-\frac{DB}{A}.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Gantikan \frac{FA-DC}{CA-DB} dengan y dalam x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

Darabkan -\frac{B}{A} kali \frac{FA-DC}{CA-DB}.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

Tambahkan \frac{C}{A} pada -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Untuk menjadikan Ax dan Dx sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan D dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan A.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

Permudahkan.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

Tolak ADx+ACy=AF daripada ADx+BDy=CD dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Tambahkan DAx pada -DAx. Seubtan DAx dan -DAx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Tambahkan DBy pada -ACy.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan DB-AC.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Gantikan \frac{DC-AF}{DB-AC} dengan y dalam Dx+Cy=F. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

Darabkan C kali \frac{DC-AF}{DB-AC}.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

Tolak \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan D.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$