Selesaikan {l}{A=90800+0.15B}{B=23600+0.2A}

$$\left. \begin{array} { l } { A = 90800 + 0.15 B } \\ { B = 23600 + 0.2 A } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk A, B

$$A = \frac{9434000}{97} = 97257\frac{71}{97} \approx 97257.731958763$$

$$B = \frac{4176000}{97} = 43051\frac{53}{97} \approx 43051.546391753$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 0.15B daripada kedua-dua belah.

$$A-0.15B=90800$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 0.2A daripada kedua-dua belah.

$$B-0.2A=23600$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk A dengan mengasingkan A di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$A-0.15B=90800$$

Tambahkan \frac{3B}{20} pada kedua-dua belah persamaan.

$$A=0.15B+90800$$

Gantikan \frac{3B}{20}+90800 dengan A dalam persamaan lain, -0.2A+B=23600.

$$-0.2\left(0.15B+90800\right)+B=23600$$

Darabkan -0.2 kali \frac{3B}{20}+90800.

$$-0.03B-18160+B=23600$$

Tambahkan -\frac{3B}{100} pada B.

$$0.97B-18160=23600$$

Tambahkan 18160 pada kedua-dua belah persamaan.

$$0.97B=41760$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.97 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$B=\frac{4176000}{97}$$

Gantikan \frac{4176000}{97} dengan B dalam A=0.15B+90800. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$A=0.15\times \frac{4176000}{97}+90800$$

Darabkan 0.15 dengan \frac{4176000}{97} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$A=\frac{626400}{97}+90800$$

Tambahkan 90800 pada \frac{626400}{97}.

$$A=\frac{9434000}{97}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 0.15B daripada kedua-dua belah.

$$A-0.15B=90800$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 0.2A daripada kedua-dua belah.

$$B-0.2A=23600$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&-\frac{-0.15}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\\-\frac{-0.2}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}&\frac{15}{97}\\\frac{20}{97}&\frac{100}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}\times 90800+\frac{15}{97}\times 23600\\\frac{20}{97}\times 90800+\frac{100}{97}\times 23600\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9434000}{97}\\\frac{4176000}{97}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks A dan B.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 0.15B daripada kedua-dua belah.

$$A-0.15B=90800$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 0.2A daripada kedua-dua belah.

$$B-0.2A=23600$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Untuk menjadikan A dan -\frac{A}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -0.2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-0.2A-0.2\left(-0.15\right)B=-0.2\times 90800,-0.2A+B=23600$$

Permudahkan.

$$-0.2A+0.03B=-18160,-0.2A+B=23600$$

Tolak -0.2A+B=23600 daripada -0.2A+0.03B=-18160 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-0.2A+0.2A+0.03B-B=-18160-23600$$

Tambahkan -\frac{A}{5} pada \frac{A}{5}. Seubtan -\frac{A}{5} dan \frac{A}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$0.03B-B=-18160-23600$$

Tambahkan \frac{3B}{100} pada -B.

$$-0.97B=-18160-23600$$

Tambahkan -18160 pada -23600.

$$-0.97B=-41760$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.97 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$B=\frac{4176000}{97}$$

Gantikan \frac{4176000}{97} dengan B dalam -0.2A+B=23600. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$-0.2A+\frac{4176000}{97}=23600$$

Tolak \frac{4176000}{97} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.2A=-\frac{1886800}{97}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -5.

$$A=\frac{9434000}{97}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$