Selesaikan {l}{A+B+1=0}{A-2B=3}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk A, B

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk A dengan mengasingkan A di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$A+B+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$A+B=-1$$

Tolak B daripada kedua-dua belah persamaan.

$$A=-B-1$$

Gantikan -B-1 dengan A dalam persamaan lain, A-2B=3.

$$-B-1-2B=3$$

Tambahkan -B pada -2B.

$$-3B-1=3$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3B=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$B=-\frac{4}{3}$$

Gantikan -\frac{4}{3} dengan B dalam A=-B-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

Darabkan -1 kali -\frac{4}{3}.

$$A=\frac{4}{3}-1$$

Tambahkan -1 pada \frac{4}{3}.

$$A=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks A dan B.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Tolak A-2B=3 daripada A+B+1=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$A-A+B+2B+1=-3$$

Tambahkan A pada -A. Seubtan A dan -A saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$B+2B+1=-3$$

Tambahkan B pada 2B.

$$3B+1=-3$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3B=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$B=-\frac{4}{3}$$

Gantikan -\frac{4}{3} dengan B dalam A-2B=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

Darabkan -2 kali -\frac{4}{3}.

$$A+\frac{8}{3}=3$$

Tolak \frac{8}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$A=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$