Selesaikan {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x-3y-13=0$$

Tambahkan 13 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x-3y=13$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=3y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali 3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

Gantikan \frac{y}{3}+\frac{13}{9} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

Darabkan 2 kali \frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

Tambahkan \frac{26}{9} pada -4.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Tambahkan \frac{10}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{2}{3} dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

Darabkan \frac{1}{3} dengan \frac{2}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Tambahkan \frac{13}{9} pada \frac{2}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Untuk menjadikan 9x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Permudahkan.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

Tolak 18x+9y-36=0 daripada 18x-6y-26=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-9y-26+36=0$$

Tambahkan -6y pada -9y.

$$-15y-26+36=0$$

Tambahkan -26 pada 36.

$$-15y+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-15y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{2}{3} dengan y dalam 2x+y-4=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada -4.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{10}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$