Selesaikan {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x+y=88$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=-y+88$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali -y+88.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

Gantikan \frac{-y+88}{9} dengan x dalam persamaan lain, 7x-8y=7.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

Darabkan 7 kali \frac{-y+88}{9}.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

Tambahkan -\frac{7y}{9} pada -8y.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

Tolak \frac{616}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{79}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

Darabkan -\frac{1}{9} kali 7.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

Tambahkan \frac{88}{9} pada -\frac{7}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Untuk menjadikan 9x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

Permudahkan.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

Tolak 63x-72y=63 daripada 63x+7y=616 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

Tambahkan 63x pada -63x. Seubtan 63x dan -63x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y+72y=616-63$$

Tambahkan 7y pada 72y.

$$79y=616-63$$

Tambahkan 616 pada -63.

$$79y=553$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 79.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam 7x-8y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-8\times 7=7$$

Darabkan -8 kali 7.

$$7x-56=7$$

Tambahkan 56 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=63$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=7$$