Selesaikan {l}{9x+9y=18}{11x+9y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 9 y = 18 } \\ { 11 x + 9 y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x+9y=18$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=-9y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-9y+18\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali -9y+18.

$$x=-y+2$$

Gantikan -y+2 dengan x dalam persamaan lain, 11x+9y=16.

$$11\left(-y+2\right)+9y=16$$

Darabkan 11 kali -y+2.

$$-11y+22+9y=16$$

Tambahkan -11y pada 9y.

$$-2y+22=16$$

Tolak 22 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3+2$$

Tambahkan 2 pada -3.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-9\times 11}&-\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\\-\frac{11}{9\times 9-9\times 11}&\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{11}{18}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 18+\frac{1}{2}\times 16\\\frac{11}{18}\times 18-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

Tolak 11x+9y=16 daripada 9x+9y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$9x-11x+9y-9y=18-16$$

Tambahkan 9y pada -9y. Seubtan 9y dan -9y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9x-11x=18-16$$

Tambahkan 9x pada -11x.

$$-2x=18-16$$

Tambahkan 18 pada -16.

$$-2x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam 11x+9y=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$11\left(-1\right)+9y=16$$

Darabkan 11 kali -1.

$$-11+9y=16$$

Tambahkan 11 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=3$$