Selesaikan {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x+7y=6$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=-7y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali -7y+6.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} dengan x dalam persamaan lain, 8x+3y=9.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

Darabkan 8 kali -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

Tambahkan -\frac{56y}{9} pada 3y.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

Tolak \frac{16}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{29}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{33}{29}$$

Gantikan -\frac{33}{29} dengan y dalam x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

Darabkan -\frac{7}{9} dengan -\frac{33}{29} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada \frac{77}{87} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{45}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Untuk menjadikan 9x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

Permudahkan.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

Tolak 72x+27y=81 daripada 72x+56y=48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

Tambahkan 72x pada -72x. Seubtan 72x dan -72x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$56y-27y=48-81$$

Tambahkan 56y pada -27y.

$$29y=48-81$$

Tambahkan 48 pada -81.

$$29y=-33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 29.

$$y=-\frac{33}{29}$$

Gantikan -\frac{33}{29} dengan y dalam 8x+3y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

Darabkan 3 kali -\frac{33}{29}.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

Tambahkan \frac{99}{29} pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=\frac{360}{29}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{45}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$