Selesaikan {l}{9x+5y=-2}{3x-3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 5 y = - 2 } \\ { 3 x - 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{33}{14} = 2\frac{5}{14} \approx 2.357142857$$

$$y = -\frac{65}{14} = -4\frac{9}{14} \approx -4.642857143$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x+5y=-2,3x-3y=21$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x+5y=-2$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=-5y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-5y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali -5y-2.

$$x=-\frac{5}{9}y-\frac{2}{9}$$

Gantikan \frac{-5y-2}{9} dengan x dalam persamaan lain, 3x-3y=21.

$$3\left(-\frac{5}{9}y-\frac{2}{9}\right)-3y=21$$

Darabkan 3 kali \frac{-5y-2}{9}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}-3y=21$$

Tambahkan -\frac{5y}{3} pada -3y.

$$-\frac{14}{3}y-\frac{2}{3}=21$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{65}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{14}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{65}{14}$$

Gantikan -\frac{65}{14} dengan y dalam x=-\frac{5}{9}y-\frac{2}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{9}\left(-\frac{65}{14}\right)-\frac{2}{9}$$

Darabkan -\frac{5}{9} dengan -\frac{65}{14} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{325}{126}-\frac{2}{9}$$

Tambahkan -\frac{2}{9} pada \frac{325}{126} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{33}{14}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{33}{14},y=-\frac{65}{14}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x+5y=-2,3x-3y=21$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{9\left(-3\right)-5\times 3}&-\frac{5}{9\left(-3\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-3\right)-5\times 3}&\frac{9}{9\left(-3\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{42}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{5}{42}\times 21\\\frac{1}{14}\left(-2\right)-\frac{3}{14}\times 21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{14}\\-\frac{65}{14}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{33}{14},y=-\frac{65}{14}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x+5y=-2,3x-3y=21$$

Untuk menjadikan 9x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$3\times 9x+3\times 5y=3\left(-2\right),9\times 3x+9\left(-3\right)y=9\times 21$$

Permudahkan.

$$27x+15y=-6,27x-27y=189$$

Tolak 27x-27y=189 daripada 27x+15y=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$27x-27x+15y+27y=-6-189$$

Tambahkan 27x pada -27x. Seubtan 27x dan -27x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y+27y=-6-189$$

Tambahkan 15y pada 27y.

$$42y=-6-189$$

Tambahkan -6 pada -189.

$$42y=-195$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 42.

$$y=-\frac{65}{14}$$

Gantikan -\frac{65}{14} dengan y dalam 3x-3y=21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-3\left(-\frac{65}{14}\right)=21$$

Darabkan -3 kali -\frac{65}{14}.

$$3x+\frac{195}{14}=21$$

Tolak \frac{195}{14} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{99}{14}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{33}{14}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{33}{14},y=-\frac{65}{14}$$