Selesaikan {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x+13y=9$$

Tolak 13y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=-13y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali -13y+9.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

Gantikan -\frac{13y}{9}+1 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=11.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

Darabkan 2 kali -\frac{13y}{9}+1.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

Tambahkan -\frac{26y}{9} pada y.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Gantikan -\frac{81}{17} dengan y dalam x=-\frac{13}{9}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

Darabkan -\frac{13}{9} dengan -\frac{81}{17} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{117}{17}.

$$x=\frac{134}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Untuk menjadikan 9x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

Permudahkan.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

Tolak 18x+9y=99 daripada 18x+26y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$26y-9y=18-99$$

Tambahkan 26y pada -9y.

$$17y=18-99$$

Tambahkan 18 pada -99.

$$17y=-81$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Gantikan -\frac{81}{17} dengan y dalam 2x+y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

Tambahkan \frac{81}{17} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{268}{17}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{134}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$