Selesaikan {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk v, w

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk v dengan mengasingkan v di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9v+2w=7$$

Tolak 2w daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9v=-2w+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali -2w+7.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

Gantikan \frac{-2w+7}{9} dengan v dalam persamaan lain, 3v-8w=-2.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

Darabkan 3 kali \frac{-2w+7}{9}.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

Tambahkan -\frac{2w}{3} pada -8w.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

Tolak \frac{7}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{26}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$w=\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1}{2} dengan w dalam v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk v.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

Darabkan -\frac{2}{9} dengan \frac{1}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

Tambahkan \frac{7}{9} pada -\frac{1}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$v=\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks v dan w.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Untuk menjadikan 9v dan 3v sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

Tolak 27v-72w=-18 daripada 27v+6w=21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

Tambahkan 27v pada -27v. Seubtan 27v dan -27v saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6w+72w=21+18$$

Tambahkan 6w pada 72w.

$$78w=21+18$$

Tambahkan 21 pada 18.

$$78w=39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 78.

$$w=\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1}{2} dengan w dalam 3v-8w=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk v.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

Darabkan -8 kali \frac{1}{2}.

$$3v-4=-2$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3v=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$v=\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$