Selesaikan {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$80x+160y=4$$

Tolak 160y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$80x=-160y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{80} kali -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Gantikan -2y+\frac{1}{20} dengan x dalam persamaan lain, x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

Tambahkan -2y pada 3y.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

Tolak \frac{1}{20} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{1}{20}$$

Gantikan \frac{1}{20} dengan y dalam x=-2y+\frac{1}{20}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

Darabkan -2 kali \frac{1}{20}.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

Tambahkan \frac{1}{20} pada -\frac{1}{10} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{20}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Untuk menjadikan 80x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 80.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

Permudahkan.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

Tolak 80x+240y=8 daripada 80x+160y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

Tambahkan 80x pada -80x. Seubtan 80x dan -80x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$160y-240y=4-8$$

Tambahkan 160y pada -240y.

$$-80y=4-8$$

Tambahkan 4 pada -8.

$$-80y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -80.

$$y=\frac{1}{20}$$

Gantikan \frac{1}{20} dengan y dalam x+3y=0.1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

Darabkan 3 kali \frac{1}{20}.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

Tolak \frac{3}{20} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{20}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$