Selesaikan {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$80x+160y=4$$

Tolak 160y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$80x=-160y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{80} kali -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Gantikan -2y+\frac{1}{20} dengan x dalam persamaan lain, 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

Darabkan 5600 kali -2y+\frac{1}{20}.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

Tambahkan -11200y pada 5600y.

$$-5600y+280=5536$$

Tolak 280 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5600y=5256$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5600.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Gantikan -\frac{657}{700} dengan y dalam x=-2y+\frac{1}{20}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

Darabkan -2 kali -\frac{657}{700}.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

Tambahkan \frac{1}{20} pada \frac{657}{350} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Untuk menjadikan 80x dan 5600x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5600 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 80.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

Permudahkan.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

Tolak 448000x+448000y=442880 daripada 448000x+896000y=22400 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

Tambahkan 448000x pada -448000x. Seubtan 448000x dan -448000x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

Tambahkan 896000y pada -448000y.

$$448000y=22400-442880$$

Tambahkan 22400 pada -442880.

$$448000y=-420480$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 448000.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Gantikan -\frac{657}{700} dengan y dalam 5600x+5600y=5536. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

Darabkan 5600 kali -\frac{657}{700}.

$$5600x-5256=5536$$

Tambahkan 5256 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5600x=10792$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5600.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$