Selesaikan {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8y+x=7$$

Tolak x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8y=-x+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -x+7.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

Gantikan \frac{-x+7}{8} dengan y dalam persamaan lain, 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

Darabkan 7 kali \frac{-x+7}{8}.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

Tambahkan -\frac{7x}{8} pada 8x.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

Tolak \frac{49}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{57}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{79}{57}$$

Gantikan \frac{79}{57} dengan x dalam y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

Darabkan -\frac{1}{8} dengan \frac{79}{57} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

Tambahkan \frac{7}{8} pada -\frac{79}{456} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{40}{57}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Untuk menjadikan 8y dan 7y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

Permudahkan.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

Tolak 56y+64x=128 daripada 56y+7x=49 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

Tambahkan 56y pada -56y. Seubtan 56y dan -56y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7x-64x=49-128$$

Tambahkan 7x pada -64x.

$$-57x=49-128$$

Tambahkan 49 pada -128.

$$-57x=-79$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -57.

$$x=\frac{79}{57}$$

Gantikan \frac{79}{57} dengan x dalam 7y+8x=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

Darabkan 8 kali \frac{79}{57}.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

Tolak \frac{632}{57} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=\frac{280}{57}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{40}{57}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$