Selesaikan {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-6$$

$$y=-7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x-9y=15$$

Tambahkan 9y pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=9y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali 9y+15.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

Gantikan \frac{9y+15}{8} dengan x dalam persamaan lain, -5x+3y=9.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

Darabkan -5 kali \frac{9y+15}{8}.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

Tambahkan -\frac{45y}{8} pada 3y.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

Tambahkan \frac{75}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{21}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

Darabkan \frac{9}{8} kali -7.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

Tambahkan \frac{15}{8} pada -\frac{63}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-6,y=-7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-6,y=-7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Untuk menjadikan 8x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

Permudahkan.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

Tolak -40x+24y=72 daripada -40x+45y=-75 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

Tambahkan -40x pada 40x. Seubtan -40x dan 40x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$45y-24y=-75-72$$

Tambahkan 45y pada -24y.

$$21y=-75-72$$

Tambahkan -75 pada -72.

$$21y=-147$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 21.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam -5x+3y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

Darabkan 3 kali -7.

$$-5x-21=9$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-6,y=-7$$