Selesaikan {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$8x-5y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Bahagikan -10 dengan 5 untuk mendapatkan -2.

$$y-3x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x-5y=3$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=5y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali 5y+3.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

Gantikan \frac{5y+3}{8} dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=-2.

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

Darabkan -3 kali \frac{5y+3}{8}.

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

Tambahkan -\frac{15y}{8} pada y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

Tambahkan \frac{9}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5+3}{8}$$

Tambahkan \frac{3}{8} pada \frac{5}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$8x-5y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Bahagikan -10 dengan 5 untuk mendapatkan -2.

$$y-3x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$8x-5y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Bahagikan -10 dengan 5 untuk mendapatkan -2.

$$y-3x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Untuk menjadikan 8x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

Tolak -24x+8y=-16 daripada -24x+15y=-9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

Tambahkan -24x pada 24x. Seubtan -24x dan 24x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y-8y=-9+16$$

Tambahkan 15y pada -8y.

$$7y=-9+16$$

Tambahkan -9 pada 16.

$$7y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -3x+y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+1=-2$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$