Selesaikan {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x-5y=10$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=5y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali 10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} dengan x dalam persamaan lain, 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

Darabkan 6 kali \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

Tambahkan \frac{15y}{4} pada -4y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=-14$$

Gantikan -14 dengan y dalam x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

Darabkan \frac{5}{8} kali -14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada -\frac{35}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Untuk menjadikan 8x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

Permudahkan.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

Tolak 48x-32y=88 daripada 48x-30y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

Tambahkan 48x pada -48x. Seubtan 48x dan -48x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-30y+32y=60-88$$

Tambahkan -30y pada 32y.

$$2y=60-88$$

Tambahkan 60 pada -88.

$$2y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-14$$

Gantikan -14 dengan y dalam 6x-4y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

Darabkan -4 kali -14.

$$6x+56=11$$

Tolak 56 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$