Selesaikan {l}{8x+y=64}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x+y=64$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-y+64$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -y+64.

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

Gantikan -\frac{y}{8}+8 dengan x dalam persamaan lain, x+y=42.

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

Tambahkan -\frac{y}{8} pada y.

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{8}y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{272}{7}$$

Gantikan \frac{272}{7} dengan y dalam x=-\frac{1}{8}y+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

Darabkan -\frac{1}{8} dengan \frac{272}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

Tambahkan 8 pada -\frac{34}{7}.

$$x=\frac{22}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Tolak x+y=42 daripada 8x+y=64 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-x+y-y=64-42$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8x-x=64-42$$

Tambahkan 8x pada -x.

$$7x=64-42$$

Tambahkan 64 pada -42.

$$7x=22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{22}{7}$$

Gantikan \frac{22}{7} dengan x dalam x+y=42. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$\frac{22}{7}+y=42$$

Tolak \frac{22}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{272}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$