Selesaikan {l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x+3y=103.1$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-3y+103.1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -3y+103.1.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

Gantikan -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} dengan x dalam persamaan lain, 12x+8y=139.4.

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

Darabkan 12 kali -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

Tambahkan -\frac{9y}{2} pada 8y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

Tolak \frac{3093}{20} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{61}{14}$$

Gantikan -\frac{61}{14} dengan y dalam x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

Darabkan -\frac{3}{8} dengan -\frac{61}{14} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

Tambahkan \frac{1031}{80} pada \frac{183}{112} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{2033}{140}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Untuk menjadikan 8x dan 12x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 12 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

Permudahkan.

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

Tolak 96x+64y=1115.2 daripada 96x+36y=1237.2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

Tambahkan 96x pada -96x. Seubtan 96x dan -96x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

Tambahkan 36y pada -64y.

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

Tambahkan 1237.2 pada -1115.2 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-28y=122$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -28.

$$y=-\frac{61}{14}$$

Gantikan -\frac{61}{14} dengan y dalam 12x+8y=139.4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

Darabkan 8 kali -\frac{61}{14}.

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

Tambahkan \frac{244}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=\frac{6099}{35}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=\frac{2033}{140}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$