Selesaikan {l}{8x+2y=104}{1x+1y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 104 } \\ { 1 x + 1 y = 25 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=16$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x+2y=104$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-2y+104$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+104\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -2y+104.

$$x=-\frac{1}{4}y+13$$

Gantikan -\frac{y}{4}+13 dengan x dalam persamaan lain, x+y=25.

$$-\frac{1}{4}y+13+y=25$$

Tambahkan -\frac{y}{4} pada y.

$$\frac{3}{4}y+13=25$$

Tolak 13 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{4}y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=16$$

Gantikan 16 dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y+13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\times 16+13$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali 16.

$$x=-4+13$$

Tambahkan 13 pada -4.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=16$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-2}&-\frac{2}{8-2}\\-\frac{1}{8-2}&\frac{8}{8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 104-\frac{1}{3}\times 25\\-\frac{1}{6}\times 104+\frac{4}{3}\times 25\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=16$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Untuk menjadikan 8x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$8x+2y=104,8x+8y=8\times 25$$

Permudahkan.

$$8x+2y=104,8x+8y=200$$

Tolak 8x+8y=200 daripada 8x+2y=104 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+2y-8y=104-200$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-8y=104-200$$

Tambahkan 2y pada -8y.

$$-6y=104-200$$

Tambahkan 104 pada -200.

$$-6y=-96$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=16$$

Gantikan 16 dengan y dalam x+y=25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+16=25$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=16$$