Selesaikan {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$8+4x-2y=0$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$4x-2y=-8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$-4x+3y=14$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-2y=-8$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=2y-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Gantikan \frac{y}{2}-2 dengan x dalam persamaan lain, -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Darabkan -4 kali \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Tambahkan -2y pada 3y.

$$y+8=14$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 6.

$$x=3-2$$

Tambahkan -2 pada 3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$8+4x-2y=0$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$4x-2y=-8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$-4x+3y=14$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$8+4x-2y=0$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$4x-2y=-8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$-4x+3y=14$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Untuk menjadikan 4x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Permudahkan.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Tolak -16x+12y=56 daripada -16x+8y=32 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Tambahkan -16x pada 16x. Seubtan -16x dan 16x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-12y=32-56$$

Tambahkan 8y pada -12y.

$$-4y=32-56$$

Tambahkan 32 pada -56.

$$-4y=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam -4x+3y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+3\times 6=14$$

Darabkan 3 kali 6.

$$-4x+18=14$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=6$$