Selesaikan {l}{7y+8x=15}{3y+8x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 y + 8 x = 15 } \\ { 3 y + 8 x = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7y+8x=15,3y+8x=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7y+8x=15$$

Tolak 8x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=-8x+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{1}{7}\left(-8x+15\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -8x+15.

$$y=-\frac{8}{7}x+\frac{15}{7}$$

Gantikan \frac{-8x+15}{7} dengan y dalam persamaan lain, 3y+8x=11.

$$3\left(-\frac{8}{7}x+\frac{15}{7}\right)+8x=11$$

Darabkan 3 kali \frac{-8x+15}{7}.

$$-\frac{24}{7}x+\frac{45}{7}+8x=11$$

Tambahkan -\frac{24x}{7} pada 8x.

$$\frac{32}{7}x+\frac{45}{7}=11$$

Tolak \frac{45}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{32}{7}x=\frac{32}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{32}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y=-\frac{8}{7}x+\frac{15}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{-8+15}{7}$$

Tambahkan \frac{15}{7} pada -\frac{8}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7y+8x=15,3y+8x=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 3}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 3}\\-\frac{3}{7\times 8-8\times 3}&\frac{7}{7\times 8-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{32}&\frac{7}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 15-\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{32}\times 15+\frac{7}{32}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=1,x=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7y+8x=15,3y+8x=11$$

Tolak 3y+8x=11 daripada 7y+8x=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7y-3y+8x-8x=15-11$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y-3y=15-11$$

Tambahkan 7y pada -3y.

$$4y=15-11$$

Tambahkan 15 pada -11.

$$4y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 3y+8x=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3+8x=11$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=1$$