Selesaikan {l}{7x-6y=19}{x-2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 6 y = 19 } \\ { x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x-6y=19$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=6y+19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(6y+19\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali 6y+19.

$$x=\frac{6}{7}y+\frac{19}{7}$$

Gantikan \frac{6y+19}{7} dengan x dalam persamaan lain, x-2y=5.

$$\frac{6}{7}y+\frac{19}{7}-2y=5$$

Tambahkan \frac{6y}{7} pada -2y.

$$-\frac{8}{7}y+\frac{19}{7}=5$$

Tolak \frac{19}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{8}{7}y=\frac{16}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{8}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{6}{7}y+\frac{19}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{6}{7}\left(-2\right)+\frac{19}{7}$$

Darabkan \frac{6}{7} kali -2.

$$x=\frac{-12+19}{7}$$

Tambahkan \frac{19}{7} pada -\frac{12}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}&\frac{7}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 19-\frac{3}{4}\times 5\\\frac{1}{8}\times 19-\frac{7}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

Untuk menjadikan 7x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$7x-6y=19,7x+7\left(-2\right)y=7\times 5$$

Permudahkan.

$$7x-6y=19,7x-14y=35$$

Tolak 7x-14y=35 daripada 7x-6y=19 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-7x-6y+14y=19-35$$

Tambahkan 7x pada -7x. Seubtan 7x dan -7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+14y=19-35$$

Tambahkan -6y pada 14y.

$$8y=19-35$$

Tambahkan 19 pada -35.

$$8y=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x-2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\left(-2\right)=5$$

Darabkan -2 kali -2.

$$x+4=5$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-2$$