Selesaikan {l}{7x-5y=-22}{4x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = - 22 } \\ { 4 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x-5y=-22$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=5y-22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(5y-22\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali 5y-22.

$$x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}$$

Gantikan \frac{5y-22}{7} dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=5.

$$4\left(\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}\right)+3y=5$$

Darabkan 4 kali \frac{5y-22}{7}.

$$\frac{20}{7}y-\frac{88}{7}+3y=5$$

Tambahkan \frac{20y}{7} pada 3y.

$$\frac{41}{7}y-\frac{88}{7}=5$$

Tambahkan \frac{88}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{41}{7}y=\frac{123}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{41}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{7}\times 3-\frac{22}{7}$$

Darabkan \frac{5}{7} kali 3.

$$x=\frac{15-22}{7}$$

Tambahkan -\frac{22}{7} pada \frac{15}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{7}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-22\right)+\frac{5}{41}\times 5\\-\frac{4}{41}\left(-22\right)+\frac{7}{41}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Untuk menjadikan 7x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$4\times 7x+4\left(-5\right)y=4\left(-22\right),7\times 4x+7\times 3y=7\times 5$$

Permudahkan.

$$28x-20y=-88,28x+21y=35$$

Tolak 28x+21y=35 daripada 28x-20y=-88 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$28x-28x-20y-21y=-88-35$$

Tambahkan 28x pada -28x. Seubtan 28x dan -28x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20y-21y=-88-35$$

Tambahkan -20y pada -21y.

$$-41y=-88-35$$

Tambahkan -88 pada -35.

$$-41y=-123$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -41.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 4x+3y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\times 3=5$$

Darabkan 3 kali 3.

$$4x+9=5$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=3$$