Selesaikan {l}{7x=y-39}{11x=y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y - 39 } \\ { 11 x = y + 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=12$$

$$y=123$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$7x-y=-39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$11x-y=9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x-y=-39$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=y-39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-39\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali y-39.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}$$

Gantikan \frac{-39+y}{7} dengan x dalam persamaan lain, 11x-y=9.

$$11\left(\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}\right)-y=9$$

Darabkan 11 kali \frac{-39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y-\frac{429}{7}-y=9$$

Tambahkan \frac{11y}{7} pada -y.

$$\frac{4}{7}y-\frac{429}{7}=9$$

Tambahkan \frac{429}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{4}{7}y=\frac{492}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{4}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=123$$

Gantikan 123 dengan y dalam x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{7}\times 123-\frac{39}{7}$$

Darabkan \frac{1}{7} kali 123.

$$x=\frac{123-39}{7}$$

Tambahkan -\frac{39}{7} pada \frac{123}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=123$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$7x-y=-39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$11x-y=9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)+\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\123\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=12,y=123$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$7x-y=-39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$11x-y=9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Tolak 11x-y=9 daripada 7x-y=-39 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-11x-y+y=-39-9$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7x-11x=-39-9$$

Tambahkan 7x pada -11x.

$$-4x=-39-9$$

Tambahkan -39 pada -9.

$$-4x=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=12$$

Gantikan 12 dengan x dalam 11x-y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$11\times 12-y=9$$

Darabkan 11 kali 12.

$$132-y=9$$

Tolak 132 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-123$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=123$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=123$$