Selesaikan {l}{7x=y+39}{11x=y-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-12$$

$$y=-123$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$7x-y=39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$11x-y=-9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x-y=39$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=y+39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali y+39.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

Gantikan \frac{39+y}{7} dengan x dalam persamaan lain, 11x-y=-9.

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

Darabkan 11 kali \frac{39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

Tambahkan \frac{11y}{7} pada -y.

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

Tolak \frac{429}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{4}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-123$$

Gantikan -123 dengan y dalam x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -123.

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

Tambahkan \frac{39}{7} pada -\frac{123}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-12,y=-123$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$7x-y=39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$11x-y=-9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-12,y=-123$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$7x-y=39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$11x-y=-9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Tolak 11x-y=-9 daripada 7x-y=39 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-11x-y+y=39+9$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7x-11x=39+9$$

Tambahkan 7x pada -11x.

$$-4x=39+9$$

Tambahkan 39 pada 9.

$$-4x=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-12$$

Gantikan -12 dengan x dalam 11x-y=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

Darabkan 11 kali -12.

$$-132-y=-9$$

Tambahkan 132 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=123$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-123$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-12,y=-123$$