Selesaikan {l}{7x+y=6}{9x+5y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = 6 } \\ { 9 x + 5 y = 22 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

$$y = \frac{50}{13} = 3\frac{11}{13} \approx 3.846153846$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+y=6,9x+5y=22$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+y=6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -y+6.

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{6}{7}$$

Gantikan \frac{-y+6}{7} dengan x dalam persamaan lain, 9x+5y=22.

$$9\left(-\frac{1}{7}y+\frac{6}{7}\right)+5y=22$$

Darabkan 9 kali \frac{-y+6}{7}.

$$-\frac{9}{7}y+\frac{54}{7}+5y=22$$

Tambahkan -\frac{9y}{7} pada 5y.

$$\frac{26}{7}y+\frac{54}{7}=22$$

Tolak \frac{54}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{26}{7}y=\frac{100}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{26}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{50}{13}$$

Gantikan \frac{50}{13} dengan y dalam x=-\frac{1}{7}y+\frac{6}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{7}\times \frac{50}{13}+\frac{6}{7}$$

Darabkan -\frac{1}{7} dengan \frac{50}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{50}{91}+\frac{6}{7}$$

Tambahkan \frac{6}{7} pada -\frac{50}{91} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{13},y=\frac{50}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+y=6,9x+5y=22$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&1\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-9}&-\frac{1}{7\times 5-9}\\-\frac{9}{7\times 5-9}&\frac{7}{7\times 5-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&-\frac{1}{26}\\-\frac{9}{26}&\frac{7}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}\times 6-\frac{1}{26}\times 22\\-\frac{9}{26}\times 6+\frac{7}{26}\times 22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\\\frac{50}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{13},y=\frac{50}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+y=6,9x+5y=22$$

Untuk menjadikan 7x dan 9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$9\times 7x+9y=9\times 6,7\times 9x+7\times 5y=7\times 22$$

Permudahkan.

$$63x+9y=54,63x+35y=154$$

Tolak 63x+35y=154 daripada 63x+9y=54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$63x-63x+9y-35y=54-154$$

Tambahkan 63x pada -63x. Seubtan 63x dan -63x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-35y=54-154$$

Tambahkan 9y pada -35y.

$$-26y=54-154$$

Tambahkan 54 pada -154.

$$-26y=-100$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -26.

$$y=\frac{50}{13}$$

Gantikan \frac{50}{13} dengan y dalam 9x+5y=22. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$9x+5\times \frac{50}{13}=22$$

Darabkan 5 kali \frac{50}{13}.

$$9x+\frac{250}{13}=22$$

Tolak \frac{250}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=\frac{36}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{4}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{13},y=\frac{50}{13}$$