Selesaikan {l}{7x+y=-9}{-3x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = - 9 } \\ { - 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+y=-9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-y-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y-9\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -y-9.

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}$$

Gantikan \frac{-y-9}{7} dengan x dalam persamaan lain, -3x-y=5.

$$-3\left(-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}\right)-y=5$$

Darabkan -3 kali \frac{-y-9}{7}.

$$\frac{3}{7}y+\frac{27}{7}-y=5$$

Tambahkan \frac{3y}{7} pada -y.

$$-\frac{4}{7}y+\frac{27}{7}=5$$

Tolak \frac{27}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{4}{7}y=\frac{8}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{4}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2\right)-\frac{9}{7}$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali -2.

$$x=\frac{2-9}{7}$$

Tambahkan -\frac{9}{7} pada \frac{2}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{7}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Untuk menjadikan 7x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$-3\times 7x-3y=-3\left(-9\right),7\left(-3\right)x+7\left(-1\right)y=7\times 5$$

Permudahkan.

$$-21x-3y=27,-21x-7y=35$$

Tolak -21x-7y=35 daripada -21x-3y=27 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-21x+21x-3y+7y=27-35$$

Tambahkan -21x pada 21x. Seubtan -21x dan 21x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y+7y=27-35$$

Tambahkan -3y pada 7y.

$$4y=27-35$$

Tambahkan 27 pada -35.

$$4y=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -3x-y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-\left(-2\right)=5$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-2$$