Selesaikan {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+8y=15$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-8y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -8y+15.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

Gantikan \frac{-8y+15}{7} dengan x dalam persamaan lain, 9x+8y=1.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

Darabkan 9 kali \frac{-8y+15}{7}.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

Tambahkan -\frac{72y}{7} pada 8y.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

Tolak \frac{135}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{16}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

Darabkan -\frac{8}{7} kali 8.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

Tambahkan \frac{15}{7} pada -\frac{64}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-7,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Tolak 9x+8y=1 daripada 7x+8y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

Tambahkan 8y pada -8y. Seubtan 8y dan -8y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7x-9x=15-1$$

Tambahkan 7x pada -9x.

$$-2x=15-1$$

Tambahkan 15 pada -1.

$$-2x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-7$$

Gantikan -7 dengan x dalam 9x+8y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

Darabkan 9 kali -7.

$$-63+8y=1$$

Tambahkan 63 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8y=64$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=8$$