Selesaikan {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+5y=12$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-5y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -5y+12.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

Gantikan \frac{-5y+12}{7} dengan x dalam persamaan lain, 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

Darabkan 8 kali \frac{-5y+12}{7}.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

Tambahkan -\frac{40y}{7} pada -2y.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

Tolak \frac{96}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{54}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{47}{54}$$

Gantikan \frac{47}{54} dengan y dalam x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

Darabkan -\frac{5}{7} dengan \frac{47}{54} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

Tambahkan \frac{12}{7} pada -\frac{235}{378} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{59}{54}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Untuk menjadikan 7x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

Permudahkan.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

Tolak 56x-14y=49 daripada 56x+40y=96 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

Tambahkan 56x pada -56x. Seubtan 56x dan -56x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$40y+14y=96-49$$

Tambahkan 40y pada 14y.

$$54y=96-49$$

Tambahkan 96 pada -49.

$$54y=47$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 54.

$$y=\frac{47}{54}$$

Gantikan \frac{47}{54} dengan y dalam 8x-2y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

Darabkan -2 kali \frac{47}{54}.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

Tambahkan \frac{47}{27} pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=\frac{236}{27}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{59}{54}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$