Selesaikan {l}{7x+5y=1}{4x-6y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - 6 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+5y=1,4x-6y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -5y+1.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{1}{7}$$

Gantikan \frac{-5y+1}{7} dengan x dalam persamaan lain, 4x-6y=5.

$$4\left(-\frac{5}{7}y+\frac{1}{7}\right)-6y=5$$

Darabkan 4 kali \frac{-5y+1}{7}.

$$-\frac{20}{7}y+\frac{4}{7}-6y=5$$

Tambahkan -\frac{20y}{7} pada -6y.

$$-\frac{62}{7}y+\frac{4}{7}=5$$

Tolak \frac{4}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{62}{7}y=\frac{31}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{62}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam x=-\frac{5}{7}y+\frac{1}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{7}$$

Darabkan -\frac{5}{7} dengan -\frac{1}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{5}{14}+\frac{1}{7}$$

Tambahkan \frac{1}{7} pada \frac{5}{14} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+5y=1,4x-6y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&5\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7\left(-6\right)-5\times 4}&-\frac{5}{7\left(-6\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-6\right)-5\times 4}&\frac{7}{7\left(-6\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}&\frac{5}{62}\\\frac{2}{31}&-\frac{7}{62}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}+\frac{5}{62}\times 5\\\frac{2}{31}-\frac{7}{62}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+5y=1,4x-6y=5$$

Untuk menjadikan 7x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$4\times 7x+4\times 5y=4,7\times 4x+7\left(-6\right)y=7\times 5$$

Permudahkan.

$$28x+20y=4,28x-42y=35$$

Tolak 28x-42y=35 daripada 28x+20y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$28x-28x+20y+42y=4-35$$

Tambahkan 28x pada -28x. Seubtan 28x dan -28x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y+42y=4-35$$

Tambahkan 20y pada 42y.

$$62y=4-35$$

Tambahkan 4 pada -35.

$$62y=-31$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 62.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam 4x-6y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-6\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

Darabkan -6 kali -\frac{1}{2}.

$$4x+3=5$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$