Selesaikan {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+4y=52$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-4y+52$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -4y+52.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

Gantikan \frac{-4y+52}{7} dengan x dalam persamaan lain, 4x-4y=-8.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

Darabkan 4 kali \frac{-4y+52}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

Tambahkan -\frac{16y}{7} pada -4y.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

Tolak \frac{208}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{44}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

Darabkan -\frac{4}{7} kali 6.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

Tambahkan \frac{52}{7} pada -\frac{24}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Untuk menjadikan 7x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

Permudahkan.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

Tolak 28x-28y=-56 daripada 28x+16y=208 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

Tambahkan 28x pada -28x. Seubtan 28x dan -28x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$16y+28y=208+56$$

Tambahkan 16y pada 28y.

$$44y=208+56$$

Tambahkan 208 pada 56.

$$44y=264$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 44.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 4x-4y=-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-4\times 6=-8$$

Darabkan -4 kali 6.

$$4x-24=-8$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=6$$