Selesaikan {l}{7x+2y=192}{8x+y=204}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 192 } \\ { 8 x + y = 204 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=24$$

$$y=12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+2y=192,8x+y=204$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+2y=192$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-2y+192$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+192\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -2y+192.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}$$

Gantikan \frac{-2y+192}{7} dengan x dalam persamaan lain, 8x+y=204.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}\right)+y=204$$

Darabkan 8 kali \frac{-2y+192}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{1536}{7}+y=204$$

Tambahkan -\frac{16y}{7} pada y.

$$-\frac{9}{7}y+\frac{1536}{7}=204$$

Tolak \frac{1536}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{7}y=-\frac{108}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=12$$

Gantikan 12 dengan y dalam x=-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{7}\times 12+\frac{192}{7}$$

Darabkan -\frac{2}{7} kali 12.

$$x=\frac{-24+192}{7}$$

Tambahkan \frac{192}{7} pada -\frac{24}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=24$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=24,y=12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+2y=192,8x+y=204$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-2\times 8}&-\frac{2}{7-2\times 8}\\-\frac{8}{7-2\times 8}&\frac{7}{7-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{8}{9}&-\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 192+\frac{2}{9}\times 204\\\frac{8}{9}\times 192-\frac{7}{9}\times 204\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=24,y=12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+2y=192,8x+y=204$$

Untuk menjadikan 7x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$8\times 7x+8\times 2y=8\times 192,7\times 8x+7y=7\times 204$$

Permudahkan.

$$56x+16y=1536,56x+7y=1428$$

Tolak 56x+7y=1428 daripada 56x+16y=1536 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$56x-56x+16y-7y=1536-1428$$

Tambahkan 56x pada -56x. Seubtan 56x dan -56x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$16y-7y=1536-1428$$

Tambahkan 16y pada -7y.

$$9y=1536-1428$$

Tambahkan 1536 pada -1428.

$$9y=108$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=12$$

Gantikan 12 dengan y dalam 8x+y=204. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x+12=204$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=192$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=24$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=24,y=12$$