Selesaikan {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2z daripada kedua-dua belah.

$$5w-2z=8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk w dengan mengasingkan w di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7w+2z=16$$

Tolak 2z daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7w=-2z+16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Gantikan \frac{-2z+16}{7} dengan w dalam persamaan lain, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

Darabkan 5 kali \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Tambahkan -\frac{10z}{7} pada -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Tolak \frac{80}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{24}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$z=1$$

Gantikan 1 dengan z dalam w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk w.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Tambahkan \frac{16}{7} pada -\frac{2}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$w=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$w=2,z=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2z daripada kedua-dua belah.

$$5w-2z=8$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks w dan z.

$$w=2,z=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2z daripada kedua-dua belah.

$$5w-2z=8$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Untuk menjadikan 7w dan 5w sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Permudahkan.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Tolak 35w-14z=56 daripada 35w+10z=80 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Tambahkan 35w pada -35w. Seubtan 35w dan -35w saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10z+14z=80-56$$

Tambahkan 10z pada 14z.

$$24z=80-56$$

Tambahkan 80 pada -56.

$$24z=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$z=1$$

Gantikan 1 dengan z dalam 5w-2z=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk w.

$$5w-2=8$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5w=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$w=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$w=2,z=1$$