Selesaikan {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6.5x+y=9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6.5x=-y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 6.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

Darabkan \frac{2}{13} kali -y+9.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

Gantikan \frac{-2y+18}{13} dengan x dalam persamaan lain, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

Darabkan 1.6 kali \frac{-2y+18}{13}.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

Tambahkan -\frac{16y}{65} pada \frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

Tolak \frac{144}{65} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{65} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{701}{3}$$

Gantikan -\frac{701}{3} dengan y dalam x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

Darabkan -\frac{2}{13} dengan -\frac{701}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

Tambahkan \frac{18}{13} pada \frac{1402}{39} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{112}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Untuk menjadikan \frac{13x}{2} dan \frac{8x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1.6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.5.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

Permudahkan.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

Tolak 10.4x+1.3y=84.5 daripada 10.4x+1.6y=14.4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Tambahkan \frac{52x}{5} pada -\frac{52x}{5}. Seubtan \frac{52x}{5} dan -\frac{52x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Tambahkan \frac{8y}{5} pada -\frac{13y}{10}.

$$0.3y=14.4-84.5$$

Tambahkan 14.4 pada -84.5 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$0.3y=-70.1$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.3 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{701}{3}$$

Gantikan -\frac{701}{3} dengan y dalam 1.6x+0.2y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

Darabkan 0.2 dengan -\frac{701}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

Tambahkan \frac{701}{15} pada kedua-dua belah persamaan.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.6 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{112}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$