Selesaikan {l}{6x-6y=-30}{-10x+6y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 6 y = - 30 } \\ { - 10 x + 6 y = 22 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x-6y=-30$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=6y-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(6y-30\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -30+6y.

$$x=y-5$$

Gantikan y-5 dengan x dalam persamaan lain, -10x+6y=22.

$$-10\left(y-5\right)+6y=22$$

Darabkan -10 kali y-5.

$$-10y+50+6y=22$$

Tambahkan -10y pada 6y.

$$-4y+50=22$$

Tolak 50 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=y-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=7-5$$

Tambahkan -5 pada 7.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&-\frac{-6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{5}{12}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Untuk menjadikan 6x dan -10x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$-10\times 6x-10\left(-6\right)y=-10\left(-30\right),6\left(-10\right)x+6\times 6y=6\times 22$$

Permudahkan.

$$-60x+60y=300,-60x+36y=132$$

Tolak -60x+36y=132 daripada -60x+60y=300 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-60x+60x+60y-36y=300-132$$

Tambahkan -60x pada 60x. Seubtan -60x dan 60x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$60y-36y=300-132$$

Tambahkan 60y pada -36y.

$$24y=300-132$$

Tambahkan 300 pada -132.

$$24y=168$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam -10x+6y=22. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-10x+6\times 7=22$$

Darabkan 6 kali 7.

$$-10x+42=22$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10x=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=7$$