Selesaikan {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$6x-7y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2x-14y=-1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x-7y=4$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=7y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali 7y+4.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x-14y=-1.

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

Darabkan 2 kali \frac{7y}{6}+\frac{2}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

Tambahkan \frac{7y}{3} pada -14y.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{35}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{1}{5} dengan y dalam x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

Darabkan \frac{7}{6} dengan \frac{1}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada \frac{7}{30} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{9}{10}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$6x-7y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2x-14y=-1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$6x-7y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2x-14y=-1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Untuk menjadikan 6x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

Tolak 12x-84y=-6 daripada 12x-14y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-14y+84y=8+6$$

Tambahkan -14y pada 84y.

$$70y=8+6$$

Tambahkan 8 pada 6.

$$70y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 70.

$$y=\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{1}{5} dengan y dalam 2x-14y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

Darabkan -14 kali \frac{1}{5}.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

Tambahkan \frac{14}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{9}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{9}{10}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$