Selesaikan {l}{6x+8y=6}{2y+3x=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 6 } \\ { 2 y + 3 x = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+8y=6$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-8y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -8y+6.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

Gantikan -\frac{4y}{3}+1 dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+2y=9$$

Darabkan 3 kali -\frac{4y}{3}+1.

$$-4y+3+2y=9$$

Tambahkan -4y pada 2y.

$$-2y+3=9$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)+1$$

Darabkan -\frac{4}{3} kali -3.

$$x=4+1$$

Tambahkan 1 pada 4.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 2-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 2-8\times 3}&\frac{6}{6\times 2-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 6+\frac{2}{3}\times 9\\\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

Untuk menjadikan 6x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 6,6\times 3x+6\times 2y=6\times 9$$

Permudahkan.

$$18x+24y=18,18x+12y=54$$

Tolak 18x+12y=54 daripada 18x+24y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+24y-12y=18-54$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-12y=18-54$$

Tambahkan 24y pada -12y.

$$12y=18-54$$

Tambahkan 18 pada -54.

$$12y=-36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 3x+2y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\left(-3\right)=9$$

Darabkan 2 kali -3.

$$3x-6=9$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-3$$