Selesaikan {l}{6x+7y=-18}{3x-4y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 7 y = - 18 } \\ { 3 x - 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+7y=-18$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-7y-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-7y-18\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -7y-18.

$$x=-\frac{7}{6}y-3$$

Gantikan -\frac{7y}{6}-3 dengan x dalam persamaan lain, 3x-4y=-9.

$$3\left(-\frac{7}{6}y-3\right)-4y=-9$$

Darabkan 3 kali -\frac{7y}{6}-3.

$$-\frac{7}{2}y-9-4y=-9$$

Tambahkan -\frac{7y}{2} pada -4y.

$$-\frac{15}{2}y-9=-9$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{15}{2}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{15}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=-\frac{7}{6}y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-7\times 3}&-\frac{7}{6\left(-4\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-4\right)-7\times 3}&\frac{6}{6\left(-4\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}&\frac{7}{45}\\\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}\left(-18\right)+\frac{7}{45}\left(-9\right)\\\frac{1}{15}\left(-18\right)-\frac{2}{15}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

Untuk menjadikan 6x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$3\times 6x+3\times 7y=3\left(-18\right),6\times 3x+6\left(-4\right)y=6\left(-9\right)$$

Permudahkan.

$$18x+21y=-54,18x-24y=-54$$

Tolak 18x-24y=-54 daripada 18x+21y=-54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+21y+24y=-54+54$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y+24y=-54+54$$

Tambahkan 21y pada 24y.

$$45y=-54+54$$

Tambahkan -54 pada 54.

$$45y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 45.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 3x-4y=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=0$$