Selesaikan {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+5y=27$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-5y+27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -5y+27.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

Gantikan -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=13.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

Darabkan 2 kali -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

Tambahkan -\frac{5y}{3} pada y.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

Darabkan -\frac{5}{6} kali -6.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada 5.

$$x=\frac{19}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Untuk menjadikan 6x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

Permudahkan.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

Tolak 12x+6y=78 daripada 12x+10y=54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-6y=54-78$$

Tambahkan 10y pada -6y.

$$4y=54-78$$

Tambahkan 54 pada -78.

$$4y=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam 2x+y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-6=13$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{19}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$