Selesaikan {l}{6x+5y=1380}{10x+7y=20600}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 1380 } \\ { 10 x + 7 y = 20600 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{23335}{2} = 11667\frac{1}{2} = 11667.5$$

$$y=-13725$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+5y=1380,10x+7y=20600$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+5y=1380$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-5y+1380$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+1380\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -5y+1380.

$$x=-\frac{5}{6}y+230$$

Gantikan -\frac{5y}{6}+230 dengan x dalam persamaan lain, 10x+7y=20600.

$$10\left(-\frac{5}{6}y+230\right)+7y=20600$$

Darabkan 10 kali -\frac{5y}{6}+230.

$$-\frac{25}{3}y+2300+7y=20600$$

Tambahkan -\frac{25y}{3} pada 7y.

$$-\frac{4}{3}y+2300=20600$$

Tolak 2300 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{4}{3}y=18300$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{4}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-13725$$

Gantikan -13725 dengan y dalam x=-\frac{5}{6}y+230. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-13725\right)+230$$

Darabkan -\frac{5}{6} kali -13725.

$$x=\frac{22875}{2}+230$$

Tambahkan 230 pada \frac{22875}{2}.

$$x=\frac{23335}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{23335}{2},y=-13725$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+5y=1380,10x+7y=20600$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1380\\20600\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&5\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1380\\20600\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1380\\20600\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1380\\20600\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6\times 7-5\times 10}&-\frac{5}{6\times 7-5\times 10}\\-\frac{10}{6\times 7-5\times 10}&\frac{6}{6\times 7-5\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1380\\20600\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{8}&\frac{5}{8}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1380\\20600\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{8}\times 1380+\frac{5}{8}\times 20600\\\frac{5}{4}\times 1380-\frac{3}{4}\times 20600\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23335}{2}\\-13725\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{23335}{2},y=-13725$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+5y=1380,10x+7y=20600$$

Untuk menjadikan 6x dan 10x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$10\times 6x+10\times 5y=10\times 1380,6\times 10x+6\times 7y=6\times 20600$$

Permudahkan.

$$60x+50y=13800,60x+42y=123600$$

Tolak 60x+42y=123600 daripada 60x+50y=13800 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$60x-60x+50y-42y=13800-123600$$

Tambahkan 60x pada -60x. Seubtan 60x dan -60x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$50y-42y=13800-123600$$

Tambahkan 50y pada -42y.

$$8y=13800-123600$$

Tambahkan 13800 pada -123600.

$$8y=-109800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=-13725$$

Gantikan -13725 dengan y dalam 10x+7y=20600. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$10x+7\left(-13725\right)=20600$$

Darabkan 7 kali -13725.

$$10x-96075=20600$$

Tambahkan 96075 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=116675$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{23335}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{23335}{2},y=-13725$$