Selesaikan {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+3y=25.95$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-3y+25.95$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

Gantikan -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} dengan x dalam persamaan lain, 4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

Darabkan 4 kali -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

Tambahkan -2y pada 6y.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

Tolak \frac{173}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=\frac{47}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{47}{20}$$

Gantikan \frac{47}{20} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan \frac{47}{20} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

Tambahkan \frac{173}{40} pada -\frac{47}{40} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{63}{20}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Untuk menjadikan 6x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

Permudahkan.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

Tolak 24x+36y=160.2 daripada 24x+12y=103.8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Tambahkan 24x pada -24x. Seubtan 24x dan -24x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Tambahkan 12y pada -36y.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

Tambahkan 103.8 pada -160.2 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-24y=-56.4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=\frac{47}{20}$$

Gantikan \frac{47}{20} dengan y dalam 4x+6y=26.7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

Darabkan 6 kali \frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

Tolak \frac{141}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{63}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{63}{20}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$