Selesaikan {l}{6x+3y=24}{7x+6y=33}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 24 } \\ { 7 x + 6 y = 33 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+3y=24$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-3y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+24\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -3y+24.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Gantikan -\frac{y}{2}+4 dengan x dalam persamaan lain, 7x+6y=33.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+6y=33$$

Darabkan 7 kali -\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28+6y=33$$

Tambahkan -\frac{7y}{2} pada 6y.

$$\frac{5}{2}y+28=33$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 2.

$$x=-1+4$$

Tambahkan 4 pada -1.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 7}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 7}\\-\frac{7}{6\times 6-3\times 7}&\frac{6}{6\times 6-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{15}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 24-\frac{1}{5}\times 33\\-\frac{7}{15}\times 24+\frac{2}{5}\times 33\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

Untuk menjadikan 6x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$7\times 6x+7\times 3y=7\times 24,6\times 7x+6\times 6y=6\times 33$$

Permudahkan.

$$42x+21y=168,42x+36y=198$$

Tolak 42x+36y=198 daripada 42x+21y=168 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$42x-42x+21y-36y=168-198$$

Tambahkan 42x pada -42x. Seubtan 42x dan -42x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y-36y=168-198$$

Tambahkan 21y pada -36y.

$$-15y=168-198$$

Tambahkan 168 pada -198.

$$-15y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 7x+6y=33. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+6\times 2=33$$

Darabkan 6 kali 2.

$$7x+12=33$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$