Selesaikan {l}{6x+2y=-6}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = - 6 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+2y=-6$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-2y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -2y-6.

$$x=-\frac{1}{3}y-1$$

Gantikan -\frac{y}{3}-1 dengan x dalam persamaan lain, 3x-y=9.

$$3\left(-\frac{1}{3}y-1\right)-y=9$$

Darabkan 3 kali -\frac{y}{3}-1.

$$-y-3-y=9$$

Tambahkan -y pada -y.

$$-2y-3=9$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-6\right)-1$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -6.

$$x=2-1$$

Tambahkan -1 pada 2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{6\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{6}{6\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{6}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Untuk menjadikan 6x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\left(-6\right),6\times 3x+6\left(-1\right)y=6\times 9$$

Permudahkan.

$$18x+6y=-18,18x-6y=54$$

Tolak 18x-6y=54 daripada 18x+6y=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+6y+6y=-18-54$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+6y=-18-54$$

Tambahkan 6y pada 6y.

$$12y=-18-54$$

Tambahkan -18 pada -54.

$$12y=-72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam 3x-y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-\left(-6\right)=9$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-6$$