Selesaikan {l}{6x+12y=-6}{2x+5y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 12 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+12y=-6$$

Tolak 12y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-12y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-12y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -12y-6.

$$x=-2y-1$$

Gantikan -2y-1 dengan x dalam persamaan lain, 2x+5y=0.

$$2\left(-2y-1\right)+5y=0$$

Darabkan 2 kali -2y-1.

$$-4y-2+5y=0$$

Tambahkan -4y pada 5y.

$$y-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-2y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 2-1$$

Darabkan -2 kali 2.

$$x=-4-1$$

Tambahkan -1 pada -4.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-12\times 2}&-\frac{12}{6\times 5-12\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-12\times 2}&\frac{6}{6\times 5-12\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-2\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

Untuk menjadikan 6x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$2\times 6x+2\times 12y=2\left(-6\right),6\times 2x+6\times 5y=0$$

Permudahkan.

$$12x+24y=-12,12x+30y=0$$

Tolak 12x+30y=0 daripada 12x+24y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+24y-30y=-12$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-30y=-12$$

Tambahkan 24y pada -30y.

$$-6y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x+5y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+5\times 2=0$$

Darabkan 5 kali 2.

$$2x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=2$$