Selesaikan {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6m-5n=-9$$

Tambahkan 5n pada kedua-dua belah persamaan.

$$6m=5n-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali 5n-9.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} dengan m dalam persamaan lain, 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

Darabkan 4 kali \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

Tambahkan \frac{10n}{3} pada 3n.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{3}n=71$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=\frac{213}{19}$$

Gantikan \frac{213}{19} dengan n dalam m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

Darabkan \frac{5}{6} dengan \frac{213}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Tambahkan -\frac{3}{2} pada \frac{355}{38} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m=\frac{149}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Untuk menjadikan 6m dan 4m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Permudahkan.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

Tolak 24m+18n=390 daripada 24m-20n=-36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

Tambahkan 24m pada -24m. Seubtan 24m dan -24m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20n-18n=-36-390$$

Tambahkan -20n pada -18n.

$$-38n=-36-390$$

Tambahkan -36 pada -390.

$$-38n=-426$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -38.

$$n=\frac{213}{19}$$

Gantikan \frac{213}{19} dengan n dalam 4m+3n=65. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

Darabkan 3 kali \frac{213}{19}.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

Tolak \frac{639}{19} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4m=\frac{596}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$m=\frac{149}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$