Selesaikan {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$5y+4x=-13$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5y+4x=-13$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-4x-13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -4x-13.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

Gantikan \frac{-4x-13}{5} dengan y dalam persamaan lain, 6y+3x=13.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

Darabkan 6 kali \frac{-4x-13}{5}.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

Tambahkan -\frac{24x}{5} pada 3x.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

Tambahkan \frac{78}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Gantikan -\frac{143}{9} dengan x dalam y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

Darabkan -\frac{4}{5} dengan -\frac{143}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

Tambahkan -\frac{13}{5} pada \frac{572}{45} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{91}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$5y+4x=-13$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$5y+4x=-13$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Untuk menjadikan 5y dan 6y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

Permudahkan.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

Tolak 30y+15x=65 daripada 30y+24x=-78 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

Tambahkan 30y pada -30y. Seubtan 30y dan -30y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24x-15x=-78-65$$

Tambahkan 24x pada -15x.

$$9x=-78-65$$

Tambahkan -78 pada -65.

$$9x=-143$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Gantikan -\frac{143}{9} dengan x dalam 6y+3x=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

Darabkan 3 kali -\frac{143}{9}.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

Tambahkan \frac{143}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=\frac{182}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=\frac{91}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$