Selesaikan {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5y+8x=-18$$

Tolak 8x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-8x-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -8x-18.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

Gantikan \frac{-8x-18}{5} dengan y dalam persamaan lain, 5y+2x=58.

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Darabkan 5 kali \frac{-8x-18}{5}.

$$-8x-18+2x=58$$

Tambahkan -8x pada 2x.

$$-6x-18=58$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-\frac{38}{3}$$

Gantikan -\frac{38}{3} dengan x dalam y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

Darabkan -\frac{8}{5} dengan -\frac{38}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

Tambahkan -\frac{18}{5} pada \frac{304}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{50}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Tolak 5y+2x=58 daripada 5y+8x=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

Tambahkan 5y pada -5y. Seubtan 5y dan -5y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8x-2x=-18-58$$

Tambahkan 8x pada -2x.

$$6x=-18-58$$

Tambahkan -18 pada -58.

$$6x=-76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-\frac{38}{3}$$

Gantikan -\frac{38}{3} dengan x dalam 5y+2x=58. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

Darabkan 2 kali -\frac{38}{3}.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

Tambahkan \frac{76}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=\frac{250}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=\frac{50}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$