Selesaikan {l}{5x-y=3}{-2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-y=3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali y+3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{3+y}{5} dengan x dalam persamaan lain, -2x+4y=12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

Darabkan -2 kali \frac{3+y}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

Tambahkan -\frac{2y}{5} pada 4y.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

Tambahkan \frac{6}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{18}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{11}{3}$$

Gantikan \frac{11}{3} dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} dengan \frac{11}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

Tambahkan \frac{3}{5} pada \frac{11}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Untuk menjadikan 5x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

Permudahkan.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

Tolak -10x+20y=60 daripada -10x+2y=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

Tambahkan -10x pada 10x. Seubtan -10x dan 10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-20y=-6-60$$

Tambahkan 2y pada -20y.

$$-18y=-6-60$$

Tambahkan -6 pada -60.

$$-18y=-66$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18.

$$y=\frac{11}{3}$$

Gantikan \frac{11}{3} dengan y dalam -2x+4y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

Darabkan 4 kali \frac{11}{3}.

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

Tolak \frac{44}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$